Diagramm Orbitalbewegungen in einer Welle

In diesem Diagramm lassen sich die Wasserspiegelauslenkung \( \eta\), die horizontale und vertikale Orbitalgeschwindigkeiten u und v sowie die Orbitalbeschleunigungen (\( \frac{\delta u}{\delta t}\) und \( \frac{\delta v}{\delta t}\)) ausgeben, die bei einer beliebig zu wählenden Welle in der Wassertiefe h an der Wasserspiegeloberfläche auftreten. Nach der STOKESschen Theorie 3. Ordnung werden zur Bestimmung der freien Oberfläche, der Orbitalgeschwindigkeiten und -beschleunigungen gemäß EAK folgende Gleichungen verwendet:

\( \eta\ = a \cdot \cos \theta + \frac{k}{4} a^2 \cdot \frac{\cosh(kh) [2 + \cosh(2 kh)]}{\sinh^3(kh)} \cdot \cos(2\theta) + \frac{3}{64} k^2 a^3 \cdot \frac{1+8 \cosh^6(kh)}{\sinh^6(kh)} \cdot \cos(3\theta) \)

\( u = c \cdot [k \cdot a \cdot \frac{\cosh[k(z + h)]}{\sinh(kh)} \cdot \cos \theta + \frac{3}{4} k^2 a^2 \cdot \frac{\cosh[2k(z + h)]}{\sinh^4(kh)} \cdot \cos(2\theta) + \frac{3}{64} k^3 a^3 \cdot \frac{11 - 2 \cosh(kh)}{\sinh^7(kh)} \cdot \cosh[3k (z+h)] \cdot \cos(3\theta)] \)
\( v = c \cdot [k \cdot a \cdot \frac{\sinh[k(z + h)]}{\sinh(kh)} \cdot \sin \theta + \frac{3}{4} k^2 a^2 \cdot \frac{\sinh[2k(z + h)]}{\sinh^4(kh)} \cdot \sin(2\theta) + \frac{3}{64} k^3 a^3 \cdot \frac{11 - 2 \cosh(kh)}{\sinh^7(kh)} \cdot \sinh[3k (z+h)] \cdot \sin(3\theta)] \)

\(\frac{\delta u}{\delta t} = c \cdot [k \cdot \omega \cdot a \cdot \frac{\cosh[k(z + h)]}{\sinh(kh)} \cdot \sin \theta + \frac{3}{2} k^2 \omega a^2 \cdot \frac{\cosh[2k(z + h)]}{\sinh^4(kh)} \cdot \sin(2\theta) + \frac{9}{64} k^3 \omega a^3 \cdot \frac{11 - 2 \cosh(2kh)}{\sinh^7(kh)} \cdot \cosh[3k (z+h)] \cdot \sin(3\theta)] \)
\(\frac{\delta v}{\delta t} = c \cdot [-k \cdot \omega \cdot a \cdot \frac{\sinh[k(z + h)]}{\sinh(kh)} \cdot \cos \theta - \frac{3}{2} k^2 \omega a^2 \cdot \frac{\sinh[2k(z + h)]}{\sinh^4(kh)} \cdot \cos(2\theta) - \frac{9}{64} k^3 \omega a^3 \cdot \frac{11 - 2 \cosh(2kh)}{\sinh^7(kh)} \cdot \sinh[3k (z+h)] \cdot \cos(3\theta)] \)

dabei sind \( k = \frac{2\pi}{L}\), \( \omega = \frac{2\pi}{T}\) und \( \theta = kx - \omega t\).

Vereinfacht wird hier \(a=\frac{H}{2}\) als Input verwendet. Die Amplitude erster Ordnung \(a\) kann alternativ auch über folgende implizite Gleichung berechnet werden (EAK, S. 43): \(H=2a+\frac{3}{32}\cdot k^2 \cdot a^3 \cdot \lbrack \frac{1+8\cosh ^6(kh)}{\sinh ^6(kh)} \rbrack \)

Zusätzlich wird über das Diagramm zu den Anwendungsbereichen der Wellentheorien dargestellt, welche Wellentheorie für die gewählten Wellenparameter und Wassertiefe angewendet werden kann.

Das Themengebiet Wellentheorien ist Teil des Moduls Grundlagen des Küsteningenieurwesens in der Vertiefung Küsteningenieurwesen und Seebau der Masterstudiengänge Bau- und Umweltingenieurwesen.